9. Sınıf - Eşlik ve Benzerlik Yazılı Sınavı

Sonuşmaz Matematik

2025–2026Eğitim-Öğretim Yılı

9. SINIF MATEMATİK DERSİ

Eşlik ve Benzerlik – Konu Sınavı

Süre: 40 dkToplam: 100 puan

Adı Soyadı:

Sınıfı:

No:

Puan:

● Sınav 10 sorudan oluşmaktadır. ● Her sorunun puanı yanında belirtilmiştir. ● Tüm çözüm adımlarını gösteriniz.

KISIM A – Üçgenlerde Eşlik (30 puan)

Soru 1 10 puan

Aşağıdaki şekilde [AC] ve [BD] birbirini E noktasında ortalar (|AE| = |EC|, |BE| = |ED|).

a) △AEB ≅ △CED olduğunu uygun eşlik koşulunu belirterek ispatlayanız. (6p)

b) Bu eşlikten |AB| = |CD| ve AB // CD olduğunu çıkarınız. (4p)

Soru 2 10 puan

Aşağıdaki şekilde |AB| = |AC|, [AD] açıortay ve D ∈ [BC]'dir.

a) △ABD ≅ △ACD olduğunu ispatlayanız (eşlik koşulunu belirtiniz). (5p)

b) Bu eşlikten [AD] ⊥ [BC] ve |BD| = |DC| olduğunu gösteriniz. (3p)

c) "İkizkenar üçgende açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir" genellemesini yapınız. (2p)

Soru 3 10 puan

Aşağıdaki şekilde M, [AB]'nin orta noktasıdır. |CM| = |DM|, |AM| = |MB| ve ∠CMA = ∠DMB'dir.

a) △CMA ≅ △DMB olduğunu ispatlayanız. (5p)

b) Bu eşlikten |AC| = |BD| ve ∠CAM = ∠DBM olduğu sonucunu çıkarınız. (3p)

c) AC // BD olduğunu gösterebilir misiniz? Açıklayınız. (2p)

KISIM B – Üçgenlerde Benzerlik ve Tales (35 puan)

Soru 4 10 puan

Aşağıdaki şekilde DE // FG // BC olup |AD| = 3, |DF| = 2, |FB| = 5 cm ve |DE| = 6 cm'dir.

a) |FG| uzunluğunu bulunuz. (4p)

b) |BC| uzunluğunu bulunuz. (3p)

c) S(ADE) / S(ABC) oranını bulunuz. (3p)

Soru 5 15 puan

Aşağıdaki şekilde ABC dik üçgeninde ∠B = 90°, [BH] ⊥ [AC], |AB| = 6 cm ve |BC| = 8 cm'dir.

a) |AC| hipotenüsünü Pisagor teoremi ile bulunuz. (2p)

b) △ABH ~ △BCA olduğunu açı eşitliklerini göstererek ispatlayanız. (4p)

c) Öklid bağıntılarını kullanarak |AH|, |HC| ve |BH| değerlerini bulunuz. (5p)

d) S(ABH) / S(BHC) oranını bulunuz. (4p)

Soru 6 10 puan

Aşağıdaki şekilde iki doğru E noktasında kesişmekte olup AB // CD'dir. |EA| = 4, |ED| = 6, |AB| = 10 ve |EB| = 5 cm'dir.

a) △AEB ~ △DEC olduğunu gösteriniz (benzerlik koşulunu belirtiniz). (4p)

b) |DC| ve |EC| uzunluklarını bulunuz. (4p)

c) S(AEB) / S(DEC) oranını bulunuz. (2p)

KISIM C – İspat ve Problem Çözme (35 puan)

Soru 7 10 puan

Bir ABC üçgeninde D, [BC] üzerinde bir nokta olup |BD| = 4, |DC| = 5 ve |AD| = 6 cm'dir.

a) △ABD ve △ACD üçgenlerinin alanları oranını |BD| ve |DC| cinsinden ifade ediniz. Gerekçenizi açıklayınız. (4p)

b) Pisagor teoremini kullanarak |AB|² ve |AC|² ile |AD|, |BD|, |DC| arasında bağıntılar kurunuz. (İpucu: A'dan BC'ye dikme çiziniz.) (6p)

Soru 8 10 puan

Aşağıdaki şekilde ABCD bir kare olup kenar uzunluğu 12 cm'dir. E, [BC] üzerinde |BE| = 4 cm olacak şekilde alınmıştır. [AE] ile [BD] köşegeni F noktasında kesişmektedir.

a) △ABE ve △ACD üçgenlerini inceleyerek aralarındaki ilişkiyi belirleyiniz. (3p)

b) |BF| / |FD| oranını bulunuz. (4p)

c) |AF| / |FE| oranını bulunuz. (3p)

Soru 9 10 puan

ABC üçgeninde |AB| = 15 cm, |AC| = 20 cm ve |BC| = 25 cm'dir.

a) Bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösteriniz. Dik açı hangi köşededir? (3p)

b) A'dan [BC]'ye çizilen yükseklik [AH] olmak üzere, Öklid bağıntılarını kullanarak |AH|, |BH| ve |HC| değerlerini bulunuz. (4p)

c) △ABH ile △ABC arasındaki benzerlik oranını bularak S(ABH) değerini hesaplayınız. (3p)

Soru 10 5 puan

(Bonus – Düşünme Sorusu) ABC üçgeninde [DE] // [BC] ve D ∈ [AB], E ∈ [AC] olmak üzere, BCED yamuğunun alanı ABC üçgeninin alanının 3/4'üne eşittir. Buna göre AD/AB oranını bulunuz.

CEVAP ANAHTARI

Soru 1 (10p)

a) |AE| = |EC| (verilen), |BE| = |ED| (verilen), ∠AEB = ∠CED (ters açılar). KAK eşlik koşulu ile △AEB ≅ △CED. (6p)
b) Eş üçgenlerden → |AB| = |CD|. Ayrıca ∠EAB = ∠ECD (eş üçgenlerin karşılıklı açıları) ve bunlar [AC] doğrultucusunun ters taraflarındaki iç ters açılardır → AB // CD. (4p)

Soru 2 (10p)

a) |AB| = |AC| (verilen), |AD| ortak kenar, ∠BAD = ∠CAD (açıortay). KAK eşlik koşulu ile △ABD ≅ △ACD. (5p)
b) Eş üçgenlerden: |BD| = |DC| ve ∠ADB = ∠ADC. Toplamları 180° → her biri 90° → [AD] ⊥ [BC]. (3p)
c) AD hem açıortay, hem kenarortay (BD=DC), hem yükseklik (AD⊥BC). Tüm ikizkenar üçgenlerde tepe açıortayı için geçerlidir. (2p)

Soru 3 (10p)

a) |CM| = |DM| (verilen), |AM| = |MB| (M orta nokta), ∠CMA = ∠DMB (verilen). KAK eşlik koşulu ile △CMA ≅ △DMB. (5p)
b) Eş üçgenlerden: |AC| = |BD| ve ∠CAM = ∠DBM. (3p)
c) ∠CAM = ∠DBM → iç ters açılar eşit → AC // BD. (2p)

Soru 4 (10p)

a) AD=3, AF=5, AB=10. △ADE~△AFG: 3/5 = 6/FG → FG = 10 cm (4p)
b) △ADE~△ABC: 3/10 = 6/BC → BC = 20 cm (3p)
c) S(ADE)/S(ABC) = (3/10)² = 9/100 (3p)

Soru 5 (15p)

a) AC = √(36+64) = 10 cm (2p)
b) ∠AHB = ∠ABC = 90° ve ∠BAH ortak → AA benzerliği ile △ABH ~ △CBA. (4p)
c) AH = AB²/AC = 36/10 = 3,6 cm. HC = 10−3,6 = 6,4 cm. BH² = 3,6·6,4 = 23,04 → BH = 4,8 cm. (5p)
d) S(ABH)/S(BHC) = AH/HC = 3,6/6,4 = 9/16 (4p)

Soru 6 (10p)

a) AB//CD → ∠EAB=∠EDC, ∠EBA=∠ECD (iç ters açılar). AA benzerliği ile △AEB~△DEC. (4p)
b) 4/6 = 10/DC → DC = 15 cm. 4/6 = 5/EC → EC = 7,5 cm. (4p)
c) S(AEB)/S(DEC) = (4/6)² = 4/9 (2p)

Soru 7 (10p)

a) Ortak yükseklik AK ile: S(ABD)/S(ACD) = BD/DC = 4/5 (4p)
b) AK dikme, BK=x: AB²=AK²+x², 36=AK²+(4−x)², AC²=AK²+(9−x)².
AB² = 20+8x, AC² = 45+8x → AC²−AB² = 25. (6p)

Soru 8 (10p)

a) |AB|=|AD|=12, ∠ABE=∠ADC=90°, ancak BE=4≠DC=12 → eş değil, ikisi de dik üçgen. (3p)
b) Koordinat: A(0,12), B(12,12), C(12,0), D(0,0), E(12,8).
AE: y=12−x/3. BD: y=x. Kesişim x=9 → F(9,9).
BF=3√2, FD=9√2 → BF/FD = 1/3 (4p)
c) AF=√(81+9)=3√10, FE=√(9+1)=√10 → AF/FE = 3 (3p)

Soru 9 (10p)

a) 15²+20²=625=25² → dik üçgen, dik açı A köşesinde. (3p)
b) AH=AB·AC/BC=300/25=12 cm. BH=225/25=9 cm. HC=400/25=16 cm. (4p)
c) k=AB/BC=3/5. S(ABC)=150. S(ABH)=(9/25)·150=54 cm². (3p)

Soru 10 – Bonus (5p)

k=AD/AB. S(ADE)=k²·S(ABC). S(BCED)=(1−k²)·S(ABC)=¾·S(ABC).
1−k²=3/4 → k²=1/4 → AD/AB = 1/2. (5p)