2025 – 2026
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI
Sonuşmaz Matematik
.............................................
10. SINIF MATEMATİK DERSİ
2. DÖNEM 1. YAZILI SINAVI
ZOR SEVİYE
SÜRE: 40 DAKİKA
Soru Sayısı8
Sınav TürüAçık Uçlu
Tarih....../....../2026
Soru12345678 TOPLAM
Puan 1015101510101515 100
Alınan
Not: Tüm sorularda çözüm yollarınızı açıkça gösteriniz. Sadece sonuç yazılan sorulardan tam puan alınamaz.
Soru 1 10.2.1 – Tanımlı Fonksiyonlar 10 puan

f : ℝ → ℝ,   f(x) = |x² − 5x + 4| fonksiyonu veriliyor.

a) f(x) = 0 denklemini çözünüz.
b) f(3) değerini hesaplayınız.
c) Fonksiyonun görüntü kümesini belirleyip bire bir olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayınız.
Çözüm 1:

a) |x²−5x+4| = 0 ⇒ x²−5x+4 = 0 ⇒ (x−1)(x−4) = 0 ⇒ x = 1 veya x = 4.

b) f(3) = |9−15+4| = |−2| = 2.

c) x²−5x+4 = (x−5/2)²−9/4. İç fonksiyonun minimumu −9/4 (x=5/2'de). Mutlak değer alındığında minimum 0 olur (x=1 ve x=4'te). Görüntü kümesi: [0, +∞). Bire bir değildir çünkü örneğin f(1) = f(4) = 0 ve f(0) = |4| = 4, f(5) = |25−25+4| = 4.

1 2 3 4 5 1 2 3 x y (1,0) (4,0) (5/2, 9/4) f(x) = |x²−5x+4|
Soru 2 10.2.2 – Karesel Fonksiyonlar 15 puan

Bir topun yüksekliği h(t) = −5t² + 20t + 1 metre olarak veriliyor (t saniye cinsinden).

a) Top en yüksek noktasına kaçıncı saniyede ulaşır? Maksimum yüksekliği bulunuz.
b) Top hangi zaman aralığında 16 metrenin üzerindedir?
c) Top yere düştüğü anı (h = 0) bulunuz. (İpucu: Karekök içinde kalabilir.)
Çözüm 2:

a) h(t) = −5(t²−4t) + 1 = −5(t−2)² + 20 + 1 = −5(t−2)² + 21. t = 2 s'de maksimum, hmax = 21 m.

b) −5t²+20t+1 > 16 ⇒ −5t²+20t−15 > 0 ⇒ t²−4t+3 < 0 ⇒ (t−1)(t−3) < 0 ⇒ 1 < t < 3. Yani 1. ve 3. saniyeler arasında.

c) −5t²+20t+1 = 0 ⇒ 5t²−20t−1 = 0. Δ = 400+20 = 420. t = (20±√420)/10 = (20±2√105)/10 = (10±√105)/5. t > 0 olmalı ⇒ t = (10+√105)/5 ≈ 4.05 s.

1 2 3 4 5 10 15 20 t h h = 16 (2, 21) t=1 t=3 h(t) = −5t²+20t+1
Soru 3 10.2.2 – Karesel Fonksiyonlar 10 puan

f(x) = ax² + bx + c karesel fonksiyonunun tepe noktası (−1, 4) ve grafiği (1, 0) noktasından geçiyor.

a) a, b ve c değerlerini bulunuz.
b) Fonksiyonun diğer sıfırını bulunuz.
Çözüm 3:

a) Tepe formundan: f(x) = a(x+1)² + 4. (1,0) noktasından geçiyor: a(1+1)²+4 = 0 ⇒ 4a+4 = 0 ⇒ a = −1.

f(x) = −(x+1)²+4 = −x²−2x−1+4 = −x²−2x+3. Yani a=−1, b=−2, c=3.

b) −x²−2x+3 = 0 ⇒ x²+2x−3 = 0 ⇒ (x+3)(x−1) = 0. Diğer sıfır: x = −3.

−3 −2 −1 1 2 1 2 3 4 (−1, 4) (−3,0) (1,0) (0,3)
Soru 4 10.2.3 – Karekök Fonksiyonlar 15 puan

f(x) = √(2x − 6) − x + 5 fonksiyonu veriliyor.

a) Fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
b) f(x) = 0 denklemini çözünüz. (Dikkat: Çözümlerin geçerliliğini kontrol ediniz.)
c) f(3) ve f(7) değerlerini hesaplayıp fonksiyonun azalan mı artan mı olduğu hakkında yorum yapınız.
Çözüm 4:

a) 2x−6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3. Tanım kümesi: [3, +∞).

b) √(2x−6) = x−5. Her iki tarafın karesini alalım: 2x−6 = x²−10x+25 ⇒ x²−12x+31 = 0.

Δ = 144−124 = 20. x = (12±√20)/2 = 6±√5. x₁ = 6−√5 ≈ 3.76, x₂ = 6+√5 ≈ 8.24.

Kontrol: √(2x−6) ≥ 0 olmalı ⇒ x−5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 olmalı. x₁ ≈ 3.76 < 5 ⇒ geçersiz! Tek çözüm: x = 6+√5.

c) f(3) = √0 − 3 + 5 = 2. f(7) = √8 − 7 + 5 = 2√2 − 2 ≈ 0.83. f(3) > f(7) ⇒ fonksiyon azalma eğiliminde (karekök yavaş artarken −x terimi baskın).

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 −1 (3, 2) (7, 2√2−2) x=6+√5
Soru 5 10.2.3 – Karekök Fonksiyonlar 10 puan

Aşağıda grafiği verilen fonksiyon, f(x) = √x referans fonksiyonundan dönüşümlerle elde edilmiştir. Fonksiyonun denklemini g(x) = a·√(x − r) + k formunda yazınız.

−1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 −1 −2 −3 (1, 2) (5, −2)
Çözüm 5:

Grafikten: Başlangıç noktası (1, 2), yani r = 1 ve k = 2. Grafik aşağı doğru gidiyor → a < 0.

(5, −2) noktasından: −2 = a·√(5−1) + 2 ⇒ a·2 = −4 ⇒ a = −2.

g(x) = −2√(x − 1) + 2

Soru 6 10.2.4 – Rasyonel Fonksiyonlar 10 puan

f(x) = (x² + 2x − 15) / (x² − 9) rasyonel fonksiyonu veriliyor.

a) Fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
b) Fonksiyonu sadeleştiriniz. Sadeleştirme sonrası tanım kümesi değişir mi? Açıklayınız.
c) f(x) = 2 denklemini çözünüz.
Çözüm 6:

a) x²−9 = (x−3)(x+3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 ve x ≠ −3. Tanım: ℝ \ {−3, 3}.

b) Pay: x²+2x−15 = (x+5)(x−3). Payda: (x+3)(x−3).

f(x) = (x+5)(x−3) / [(x+3)(x−3)] = (x+5)/(x+3), x ≠ 3 ve x ≠ −3.

Sadeleştirme sonrası ifade (x+5)/(x+3) olur ama tanım kümesi değişmez — hâlâ x ≠ 3 ve x ≠ −3'tür. Çünkü orijinal fonksiyonda her iki noktada da tanımsızdır.

c) (x+5)/(x+3) = 2 ⇒ x+5 = 2(x+3) ⇒ x+5 = 2x+6 ⇒ x = −1. Kontrol: −1 ≠ 3 ve −1 ≠ −3 ✓

Soru 7 10.2.5 – Ters Fonksiyonlar 15 puan

f(x) = (2x + 3) / (x − 1),   x ≠ 1 fonksiyonu veriliyor.

a) f fonksiyonunun tersini bulunuz.
b) f(x) = f⁻¹(x) denklemini çözünüz.
c) f(f(3)) değerini hesaplayınız.
Çözüm 7:

a) y = (2x+3)/(x−1). y(x−1) = 2x+3 ⇒ xy−y = 2x+3 ⇒ xy−2x = y+3 ⇒ x(y−2) = y+3 ⇒ x = (y+3)/(y−2).

f⁻¹(x) = (x+3)/(x−2), x ≠ 2.

b) f(x) = f⁻¹(x): (2x+3)/(x−1) = (x+3)/(x−2). Çapraz çarpım: (2x+3)(x−2) = (x+3)(x−1).

2x²−4x+3x−6 = x²−x+3x−3 ⇒ 2x²−x−6 = x²+2x−3 ⇒ x²−3x−3 = 0.

Δ = 9+12 = 21. x = (3±√21)/2.

c) f(3) = (6+3)/(3−1) = 9/2. f(f(3)) = f(9/2) = (2·9/2+3)/(9/2−1) = (9+3)/(7/2) = 12·2/7 = 24/7.

1 2 3 4 5 −1 −2 −3 1 2 3 4 −1 −2 −3 y = x f(x) f⁻¹(x)
Soru 8 10.2.5 – Ters Fonksiyonlar 15 puan

f(x) = x² − 2x fonksiyonu [1, +∞) aralığında tanımlıdır.

a) Bu kısıtlı tanım kümesinde f fonksiyonunun neden tersinin var olduğunu açıklayınız.
b) f⁻¹(x) fonksiyonunu bulunuz. (İpucu: Tam kareye tamamlayınız.)
c) f⁻¹(3) değerini hesaplayınız.
Çözüm 8:

a) f(x) = (x−1)²−1. x ≥ 1 olduğunda (x−1) ≥ 0, dolayısıyla f sürekli artan ⇒ bire bir. Görüntü kümesi [−1, +∞) ⇒ örten. Tersi vardır.

b) y = (x−1)²−1 ⇒ y+1 = (x−1)² ⇒ x−1 = √(y+1) (x ≥ 1 olduğundan pozitif kök). x = 1+√(y+1). f⁻¹(x) = 1 + √(x+1), x ≥ −1.

c) f⁻¹(3) = 1 + √(3+1) = 1 + √4 = 1 + 2 = 3. Kontrol: f(3) = 9−6 = 3 ✓

−1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 −1 y = x (1, −1) (−1, 1) (3, 3) f(x) = x²−2x f⁻¹(x) = 1+√(x+1)